Η έννοια της απόδειξης, θεμελιακό εργαλείο της μαθηματικής μεθόδου από την ελληνική αρχαιότητα, βρίσκεται στο επίκεντρο του βιβλίου «Οι μεταμορφώσεις του λογισμού» (Εκδ. Εκκρεμές. Mετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης) του Γάλλου μαθηματικού, ερευνητή και καθηγητή στην École polytechnique, Ζιλ Ντοβέκ.
Πρόκειται για άκρως ενδιαφέρον ανάγνωσμα που επιτρέπει στον αναγνώστη να ακολουθήσει τον συγγραφέα στην περιπέτεια της εξέλιξης της μαθηματικής επιστήμης, με αφετηρία την προϊστορία των μαθηματικών και τα ελληνικά μαθηματικά και προορισμό τη νέα κατεύθυνση της επιστήμης στην εποχή της ραγδαίας τεχνολογικής εξέλιξης και της κυριαρχίας των υπολογιστών.
Όσοι από τους αναγνώστες δεν είναι μαθηματικοί έχουν, σίγουρα, την ευκαιρία να προσεγγίσουν τον «κλειστό» κόσμο των μαθηματικών: τη λογική του Frege που κατάφερε να δώσει έναν ορισμό των ακέραιων και να αποδείξει την πρόταση «2+2=4, τη θεωρία των τύπων του Russel, την τελική μορφή των κατηγορημάτων του Hilbert και πολλές ακόμα κατακτήσεις.
Η συναρπαστική περιπλάνηση στον κόσμο των μαθηματικών αποκαλύπτει σιγά-σιγά ότι στις προθέσεις του συγγραφέα δεν ήταν απλώς η ιστορική καταγραφή μιας επιστήμης, αλλά να δείξει τη σταδιακή μεταμόρφωσή της και τη νέα της κατεύθυνση στο σύγχρονο κόσμο.
Παρουσίαση από τον Γιώργο Καρουζάκη
Η έννοια της απόδειξης, θεμελιακό εργαλείο της μαθηματικής μεθόδου από την ελληνική αρχαιότητα, βρίσκεται στο επίκεντρο του βιβλίου «Οι μεταμορφώσεις του λογισμού» (Εκδ. Εκκρεμές. Μετάφραση : Τεύκρος Μιχαηλίδης) του Γάλλου μαθηματικού, ερευνητή και καθηγητή στην École polytechnique, Ζιλ Ντοβέκ.
Είναι συγγραφέας πολλών βιβλίων, μεταξύ των οποίων και επιστημονικά βιβλία με αποδέκτες το ευρύ κοινό. Σε αυτή την κατηγορία κατατάσσονται και «Οι μεταμορφώσεις του λογισμού», πόνημα το οποίο τιμήθηκε το 2007 και με το «Μεγάλο βραβείο φιλοσοφίας της Γαλλικής Ακαδημίας».
Πρόκειται για άκρως ενδιαφέρον ανάγνωσμα που επιτρέπει στον αναγνώστη να ακολουθήσει τον συγγραφέα στην περιπέτεια της εξέλιξης της μαθηματικής επιστήμης, με αφετηρία την προϊστορία των μαθηματικών και τα ελληνικά μαθηματικά και προορισμό τη νέα κατεύθυνση της επιστήμης στην εποχή της ραγδαίας τεχνολογικής εξέλιξης και της κυριαρχίας των υπολογιστών.
Το στοιχείο το οποίο οδηγεί τον Ζιλ Ντοβέκ να πιστεύει ότι ο νέος αιώνας ενδέχεται να αποτελέσει το πεδίο μιας ακόμα επανάστασης στα μαθηματικά, είναι η, σχετικά πρόσφατη, επανεκτίμηση της παλιάς, μάλλον παραμελημένης, έννοιας του υπολογισμού. Κάνοντας λόγο για τις προκαταλήψεις που έχουν ακόμα αρκετοί μαθηματικοί απέναντι στην αλγοριθμική μέθοδο του υπολογισμού και τη μεγαλύτερη εμπιστοσύνη που δείχνουν στην αξιωματική – παραγωγική μέθοδο του συλλογισμού, επισημαίνει τη σημασία της επανεξέτασης των σχέσεων ανάμεσα στις δυο μεθόδους, αλλά και του διαλόγου των μαθηματικών με τις φυσικές επιστήμες, όπως είναι η φυσική και η βιολογία.
Για να μιλήσει, όμως, ο συγγραφέας για τα νέα δεδομένα στη μαθηματική επιστήμη και για την κρίση της αξιωματικής μεθόδου στα μαθηματικά, μάς οδηγεί με τη γνώση, την πυκνότητα του λόγου του και το χάρισμα της σαφήνειας, στο μακρινό παρελθόν. Στα μαθηματικά πριν από τον Πυθαγόρα, τον Θαλή, τον Αναξίμανδρο που θεμελίωσαν τους κλάδους της αριθμητικής και της γεωμετρίας.
Από την ικανότητα των λογιστών – γραφέων της Μεσοποταμίας να κάνουν διαιρέσεις πριν από την επινόηση της θεωρητικής αριθμητικής, φτάνει στη συνέχεια στους πρώτους κανόνες συλλογισμού των φιλοσόφων και των μαθηματικών, στην κατασκευή του αλγορίθμου του Ευκλείδη, στο θεώρημα του Θαλή με τον υπολογισμό του ύψους μιας πυραμίδας και στις μεταμορφώσεις του λογισμού μέσα στον 20ο αιώνα, που αποτελούν και θεμελιώδες κεφάλαιο του βιβλίου.
Το μεγαλύτερο μέρος της αφήγησης, με τη σχεδόν γραμμική περιγραφή των σταδίων εξέλιξης της μαθηματικής επιστήμης, μοιάζει με την προσπάθειά του να αφηγηθεί συνοπτικά, με ζωηρό και εύληπτο τρόπο την ιστορία των μαθηματικών. Όσοι από τους αναγνώστες δεν είναι μαθηματικοί έχουν, σίγουρα, την ευκαιρία να προσεγγίσουν τον «κλειστό» κόσμο των μαθηματικών: τη λογική του Frege που κατάφερε να δώσει έναν ορισμό των ακέραιων και να αποδείξει την πρόταση «2+2=4, τη θεωρία των τύπων του Russel, την τελική μορφή των κατηγορημάτων του Hilbert και πολλές ακόμα κατακτήσεις.
Η συναρπαστική περιπλάνηση στον κόσμο των μαθηματικών αποκαλύπτει σιγά-σιγά ότι στις προθέσεις του συγγραφέα δεν ήταν απλώς η ιστορική καταγραφή μιας επιστήμης, αλλά να δείξει τη σταδιακή μεταμόρφωσή της και τη νέα της κατεύθυνση στο σύγχρονο κόσμο.
Οι θεωρίες της υπολογισιμότητας και κατασκευασιμότητας, η εμφάνιση νέων αλγορίθμων, η «αυτόματη απόδειξη» στην πληροφορική στις αρχές της δεκαετίας του 70, η απόδειξη, αργότερα, του θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων με τη συμβολή ενός υπολογιστή, είναι ορισμένα μόνο από τα επιστημονικά παραδείγματα που αξιοποιεί ο Ζιλ Ντοβέκ για να θέσει προς το τέλος του βιβλίου το ερώτημα : «Άραγε ο υπολογισμός θα μας επιτρέψει να απαλλαγούμε μια μέρα από τα αξιώματα ή, παρά τον υπολογισμό, θα είμαστε πάντοτε υποχρεωμένοι να τους παραχωρήσουμε μια θέση στο μαθηματικό οικοδόμημα»;
Κανένας δεν είναι ακόμα σε θέση να πει, σύμφωνα με τον συγγραφέα, ποια από τα μεγάλα ανοικτά προβλήματα των μαθηματικών θα λυθούν με τη βοήθεια οργάνων και ποια θα λυθούν με χρήση των παραδοσιακών τεχνικών. «Δεν είναι προφανές», καταλήγει, «ότι οι υπολογιστές θα προσκομίσουν πολλά νέα αποτελέσματα σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών. Κάποιοι από αυτούς ίσως να χρειάζονται περισσότερο από τους άλλους το λογισμό. Μένει να δούμε ποιοι».
Ερωτήσεις, αφορμή για συζήτηση, από τον Γιώργο Καρουζάκη
– Με ποιο τρόπο οι Μεσοποτάμιοι λογιστές έκαναν διαιρέσεις πολύ πριν από την επινόηση της αριθμητικής ;
– Πώς οι ίδιοι μπόρεσαν να συλλάβουν έναν αλγόριθμο για τη διαίρεση χωρίς να καταφύγουν σε κάποιο συλλογισμό ;
– Τι είναι ένας συλλογισμός ;
– Ποιες ήταν οι μεταμορφώσεις του λογισμού κατά τη διάρκεια του 20ου αιώνα ;
– Για ποιο λόγο αποδεχόμαστε τη θέσπιση αξιωμάτων ;
– Ποιες ήταν οι δύο θεωρίες που εμφανίστηκαν στις αρχές του 20ου αιώνα και αφορούσαν και οι δύο τον υπολογισμό ;
– Με ποιο τρόπο το θεώρημα του Church φωτίζει με νέο φως την έννοια της αναλυτικής κρίσης ;
– Είναι δυνατόν μια μηχανή να συντάσσει αποδείξεις εξίσου καλά με ένα ανθρώπινο ον ;
Συνέντευξη στον Γιώργο Καρουζάκη
O κορυφαίος Γάλλος μαθηματικός Gilles Dowek, ερευνητής στο ΙΝRIA και καθηγητής στην École polytechnique μάς παραχώρησε μια μεγάλη συνέντευξη, ειδικά για την ιστοσελίδα της ομάδας ΘΑΛΗΣ + ΦΙΛΟΙ, με αφορμή την ελληνική έκδοση του βιβλίου του «Οι μεταμορφώσεις του λογισμού» (Εκδ. Εκκρεμές, σε μετάφραση Τεύκρου Μιχαηλίδη). Το βιβλίο, μια συναρπαστική περιήγηση στην ιστορία των μαθηματικών, τιμήθηκε το 2007 με το Μεγάλο Βραβείο Φιλοσοφίας της Γαλλικής Ακαδημίας.
Στο έργο του, ο αναγνώστης ακολουθεί τον συγγραφέα στην περιπέτεια της εξέλιξης της μαθηματικής σκέψης, με αφετηρία την προϊστορία και τα ελληνικά μαθηματικά, και προορισμό τη νέα κατεύθυνση της επιστήμης στην εποχή της ραγδαίας τεχνολογικής εξέλιξης και της κυριαρχίας των υπολογιστών.
– Πιστεύετε ότι το νέο επιστημονικό ενδιαφέρον για τον υπολογισμό θα προκαλέσει μια καινούργια επανάσταση στα μαθηματικά τον 21ο αιώνα;
Πριν απαντήσουμε στο ερώτημα για το ρόλο του υπολογισμού στα μαθηματικά, υπάρχει ένα προγενέστερο: ποια είναι τα όρια των μαθηματικών και μέχρι πού μπορούν να φτάσουν. Δεν αναφέρομαι στους ιδανικούς μαθηματικούς ενός τυπικού συστήματος, αλλά στη μεγάλη οικογένεια των ενεργών μαθηματικών. Στο διάστημα από την εφεύρεση της τυπογραφίας μέχρι και την εμφάνιση των υπολογιστών, οι μαθηματικοί παρήγαγαν αποδείξεις της τάξης μερικών χιλιάδων σελίδων. Από την εφεύρεση του υπολογιστή και μετά, οι αποδείξεις αυξήθηκαν σε εκατομμύρια σελίδες, αρκεί να θυμηθούμε την απόδειξη του Θεωρήματος των Τεσσάρων Χρωμάτων. Και ακόμα δεν ξέρουμε πού μπορούν να φτάσουν μέσα στον 21ο αιώνα. Όμως, ως συνήθως, μια ποσοτική εξέλιξη προαναγγέλλει και μια ποιοτική. Τι μπορεί, τελικά, να σημαίνει η κατανόηση μιας απόδειξης εκατομμυρίων σελίδων;
– Στο βιβλίο σας γράφετε ότι οι επιστήμονες πρέπει να επανεξετάσουν τον διάλογο ανάμεσα στα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες, τη φυσική και τη βιολογία. Τι οφέλη μπορεί να προκύψουν από αυτόν;
Το σημείο εκκίνησης ενός τέτοιου διαλόγου είναι πάντοτε ίδιο: ένα φυσικό φαινόμενο περιγράφεται με μαθηματικό τρόπο. Για παράδειγμα, η ελεύθερη πτώση περιγράφεται με μια διαφορική εξίσωση. Έτσι, οι μαθηματικοί έχουν νέα αντικείμενα να μελετήσουν και οι φυσικοί νέες προβλέψεις για να ελέγξουν πειραματικά. Στις περισσότερες εποχές, οι μαθηματικοί και οι φυσικοί ήταν συχνά τα ίδια πρόσωπα. Ο διάλογος αυτός φαίνεται να λειτουργεί, ακόμη και σήμερα, πολύ καλύτερα ανάμεσα στα μαθηματικά και τη φυσική παρά ανάμεσα στα μαθηματικά και τη βιολογία. Γιατί; Η υπόθεση που κάνω είναι ότι η σχέση των μαθηματικών με τη φυσική ενισχύθηκε από το γεγονός ότι η περιγραφή των φυσικών φαινομένων βασίζεται σε ένα συγκεκριμένο μαθηματικό εργαλείο: τις διαφορικές εξισώσεις.
Μοιάζει δύσκολο να περιγραφούν βιολογικές διεργασίες, όπως η σύνθεση των πρωτεϊνών, με τη γλώσσα του απειροστικού λογισμού. Μπορούν, όμως, να περιγραφούν με μια αλγοριθμική γλώσσα. Υπάρχει, λοιπόν, μια νέα ευκαιρία να αναπτυχθεί ο διάλογος ανάμεσα στα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες και με τη χρήση της αλγοριθμικής γλώσσας, συμπληρωματικά με τις διαφορικές εξισώσεις. Από έναν τέτοιο διάλογο θα μπορούσε να επωφεληθεί και η ίδια η φυσική.
Για παράδειγμα, στη Νευτώνεια φυσική ένα φυσικό φαινόμενο μπορεί, θεωρητικά, να χρησιμοποιήσει μια απεριόριστη ποσότητα πληροφοριών σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα, επειδή η πληροφορία ταξιδεύει απεριόριστα γρήγορα και τα μεγέθη περιγράφονται με πραγματικούς αριθμούς, οι οποίοι έχουν έναν άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Ωστόσο, οι φυσικοί έχουν αποτύχει στο να δημιουργήσουν τέτοια φαινόμενα στο εργαστήριο. Και αυτό ίσως, υποδεικνύει ότι φυσικές θεωρίες θα έπρεπε εξαρχής να αποκλείουν τέτοιου είδους φαινόμενα.
– Πώς οι νέες επιστημονικές ανακαλύψεις μπορούν να αλλάξουν τις φιλοσοφικές έννοιες των αναλυτικών και συνθετικών κρίσεων;
Η έννοια «αναλυτική κρίση» είχε διαφόρων ειδών σημασίες στην πορεία της Ιστορίας. Αυτή η διαπίστωση μπορεί να επισημαίνει την έλλειψη των κατάλληλων εργαλείων για να ερμηνεύσουμε την έννοια της «αναλυτικής κρίσης». Για παράδειγμα, ονομάζουμε μια κρίση αναλυτική όταν η αλήθεια μιας πρότασης βασίζεται αποκλειστικά στο νόημα των λέξεων που περιέχει. Για παράδειγμα, η κρίση ότι η πρόταση «2 + 3 = 5» είναι αληθής βασίζεται μόνο στην έννοια των συμβόλων «2», «3», «5», «+» και «=», γι’ αυτό και ονομάζεται αναλυτική. Στα μαθηματικά, το νόημα των όρων εκφράζεται συχνά από αξιώματα. Για παράδειγμα, το νόημα των λέξεων «σημείο», «γραμμή», «πρόσπτωση» εκφράζεται από τα αξιώματα του Ευκλείδη. Υπό αυτή την έννοια, η κρίση της αλήθειας κάθε αποδείξιμης πρότασης γίνεται αναλυτική.
Αυτή η διαπίστωση, όμως, συγκρούεται με μια άλλη ιδέα: ότι όταν μια πρόταση είναι αναλυτική, η αλήθεια της μπορεί να επιβεβαιωθεί απλώς εξετάζοντάς την. Ωστόσο, γνωρίζουμε από τη δεκαετία του 1930 ότι η αποδειξιμότητα μιας πρότασης δεν μπορεί να γίνει αντιληπτή εκ πρώτης όψεως, καθώς είναι ένα μη αποφασίσιμο πρόβλημα. Μια λύση σε αυτό το παράδοξο, η οποία στην ουσία είναι αυτή του Per Martin-Löf, είναι να θεωρείται μια κρίση αναλυτική μόνο όταν το νόημα των λέξεων που περιέχει εκφράζεται με αλγοριθμικό τρόπο. Και πάλι, το κλειδί για τον ορισμό της αναλυτικότητας είναι η έννοια του υπολογισμού.
– Ποιους νέους προβληματισμούς δημιουργεί η εμπλοκή των υπολογιστών στην επιστήμη των μαθηματικών;
Πάρα πολλούς. Ένας από αυτούς συνδέεται με την ποσότητα των δεδομένων που μπορούμε να αναλύσουμε, δηλαδή με την πολυπλοκότητα των συστημάτων που μπορούμε να μελετήσουμε. Το ανθρώπινο γονιδίωμα ή η γραμματική μιας φυσικής γλώσσας είναι αντικείμενα υπερβολικά σύνθετα για να μελετηθούν χωρίς υπολογιστή. Αυτό μας οδηγεί σε έναν άλλο προβληματισμό, σχετικό με τη δημιουργία θεωριών. Γνωρίζουμε ότι ο Γιοχάνες Κέπλερ διατύπωσε τους τρεις νόμους του αναλύοντας τα παρατηρησιακά δεδομένα που είχε συλλέξει ο Τύχο Μπράχε.
Αν σήμερα έχουμε δεδομένα τόσο μεγάλου όγκου που είναι αδύνατον να αναλυθούν από έναν άνθρωπο, τότε ίσως μόνο οι υπολογιστές είναι σε θέση να δημιουργήσουν νέες θεωρίες. Αυτό εγείρει ένα ακόμα ερώτημα: υπάρχει αλγόριθμος που θα μπορούσε να «εξαγάγει» τους νόμους του Κέπλερ από τα δεδομένα του Τύχο Μπράχε; Ο ρόλος των επιστημόνων του 21ου αιώνα θα μπορούσε να είναι η σχεδίαση τέτοιων αλγορίθμων, και όχι η δημιουργία των ίδιων των θεωριών.
– Ποιες από τις περίφημες μαθηματικές εικασίες ή άλλα μαθηματικά προβλήματα μπορούν να λυθούν με τη βοήθεια των ηλεκτρονικών υπολογιστών τα επόμενα χρόνια;
Μακάρι να ήξερα… Αλλά εδώ εγείρεται επίσης ένα καινούργιο ερώτημα: θα είναι οι υπολογιστές το ίδιο χρήσιμοι σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών ή μερικοί κλάδοι θα επηρεαστούν από τον υπολογισμό περισσότερο από άλλους; Φαίνεται ότι οι υπολογιστές είναι περισσότερο χρήσιμοι στη Διακριτή Γεωμετρία από ό,τι σε άλλους τομείς. Ίσως δεν έχουμε ακόμη επινοήσει τις κατάλληλες μεθόδους για να τους αξιοποιήσουμε στους υπόλοιπους κλάδους.
Αν και ζούμε σε μια τεχνολογική εποχή πολλοί άνθρωποι, ανάμεσά τους επιστήμονες και δάσκαλοι, είναι καχύποπτοι απέναντι στην τεχνολογία. Τι τους τρομάζει ; Είναι δικαιολογημένοι κάποιοι από τους φόβους τους;
Στην πρώιμη ευρωπαϊκή αρχαιότητα, οι ιερείς βρίσκονταν στην κορυφή της κοινωνικής ιεραρχίας, ενώ οι «παραγωγοί» και οι τεχνίτες στο κάτω μέρος της. Οι επιστήμονες δεν υπήρχαν πουθενά. Στη σύγχρονη εποχή, ανακαλύψαμε ότι η επιστήμη εξηγεί τον κόσμο και συμβάλλει στον μετασχηματισμό του, και ότι οι επιστήμονες έχουν κοινά στοιχεία τόσο με τους ιερείς όσο και με τους τεχνίτες. Αυτό ίσως εξηγεί γιατί οι επιστήμονες δυσκολεύονται να βρουν τη θέση τους σε μια κοινωνική ιεραρχία που αρχικά δεν τους συμπεριελάμβανε.
Μία επιλογή τους είναι να προσπαθούν να μιμηθούν τους ιερείς, γεγονός που εξηγεί την περιφρόνηση πολλών εξ αυτών για τις λεγόμενες «εφαρμοσμένες επιστήμες». Η επιμονή τους σε αισθητικά κριτήρια και η καχυποψία τους απέναντι στην τεχνολογία περιγράφεται θαυμάσια στο βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη «Πυθαγόρεια Εγκλήματα». Αυτή η στάση, όμως, μπορεί να μην είναι βιώσιμη στον 21ο αιώνα, όπου η επιστήμη και η τεχνολογία θα συνυπάρχουν στενότερα από ποτέ. Η πληροφορική είναι ίσως ο πρώτος από τους νέους τομείς όπου η επιστήμη και η τεχνολογία δεν μπορούν να λειτουργήσουν χωριστά. Εκείνοι που φοβούνται ότι η πληροφορική απειλεί την παλιά κοινωνική ιεραρχία, μάλλον έχουν δίκιο.
– Τα βιβλία σας αν και έχουν επιστημονικά θέματα, απευθύνονται στο ευρύ κοινό. Τι σημασία έχει για σας η εκλαΐκευση της επιστήμης;
Η εκλαΐκευση της επιστήμης είναι καθήκον, επειδή η επιστήμη δεν είναι ιδιοκτησία μας, αλλά κληρονομιά ολόκληρης της ανθρωπότητας. Ο κύριος λόγος που επιμένω, όμως, είναι επειδή πιστεύω ότι η επιστήμη, την ίδια στιγμή που αναπτύσσεται όσο ποτέ άλλοτε, απειλείται και με εξαφάνιση. Όταν η γνώση περιορίζεται στα μέλη μιας πολύ μικρής ομάδας, ο κίνδυνος να χαθεί είναι ορατός.
© Copyright 2001-2023 Θαλής + Φίλοι.
designed & developed by UNICORG EE
