Ο τρόπος διδασκαλίας των Μαθηματικών είναι ένα ζήτημα που προκαλεί διαρκώς συζητήσεις, παρανοήσεις και δοκιμάζει, συχνά, τις αντοχές εκπαιδευτικών και μαθητών. Η φορμαλιστική και αφηρημένη παρουσίαση του μαθήματος στα σχολικά εγχειρίδια δυσκολεύει τη μετάδοσή του αλλά και την κατανόησή του από τους μαθητές.
Συνεπώς, ο ακατάλληλος τρόπος διδασκαλίας μιας επιστήμης με τόσο πλούτο και πλήθος εφαρμογών στη σύγχρονη ζωή διαιωνίζει ένα πρόβλημα, που οι επιστημονικές εξελίξεις και η ανθρώπινη ευφυία θα έπρεπε να είχαν αντιμετωπίσει με σοφότερο τρόπο.
Το βιβλίο «Επίλυση Προβλήματος στα Μαθηματικά - Η πορεία της σκέψης κατά την αναζήτηση λύσης» (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης), που έγραψαν η Καθηγήτρια στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών Γιάννα Μαμωνά-Downs και ο Επίκουρος Καθηγητής της Διδακτικής των Μαθηματικών του Α.Π.Θ. Ιωάννης Παπαδόπουλος, προσεγγίζει το θέμα της διδασκαλίας των μαθηματικών μέσα από μια δημιουργική διαδικασία. Το εγχείρημά τους επικεντρώνεται στον πυρήνα του μαθηματικού έργου, που δεν είναι άλλος από την επίλυση προβλημάτων.
Παρουσίαση από τον Γιώργο Καρουζάκη
Ο τρόπος διδασκαλίας των Μαθηματικών είναι ένα ζήτημα που προκαλεί διαρκώς συζητήσεις, παρανοήσεις και δοκιμάζει, συχνά, τις αντοχές εκπαιδευτικών και μαθητών. Η φορμαλιστική και αφηρημένη παρουσίαση του μαθήματος στα σχολικά εγχειρίδια δυσκολεύει τη μετάδοσή του αλλά και την κατανόησή του από τους μαθητές. Συνεπώς, ο ακατάλληλος τρόπος διδασκαλίας μιας επιστήμης με τόσο πλούτο και πλήθος εφαρμογών στη σύγχρονη ζωή διαιωνίζει ένα πρόβλημα, που οι επιστημονικές εξελίξεις και η ανθρώπινη ευφυία θα έπρεπε να είχαν αντιμετωπίσει με σοφότερο τρόπο.
Το βιβλίο «Επίλυση Προβλήματος στα Μαθηματικά – Η πορεία της σκέψης κατά την αναζήτηση λύσης» (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης), που έγραψαν η Καθηγήτρια στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών Γιάννα Μαμωνά-Downs και ο Επίκουρος Καθηγητής της Διδακτικής των Μαθηματικών του Α.Π.Θ. Ιωάννης Παπαδόπουλος, προσεγγίζει το θέμα της διδασκαλίας των μαθηματικών μέσα από μια δημιουργική διαδικασία. Το εγχείρημά τους επικεντρώνεται στον πυρήνα του μαθηματικού έργου, που δεν είναι άλλος από την επίλυση προβλημάτων.
Στόχος του βιβλίου δεν είναι η παράθεση μιας σειράς προβλημάτων και του τρόπου επίλυσής τους. Μια τέτοια προσέγγιση δεν θα διέφερε από εκείνη που συναντά κάποιος σε δεκάδες εγχειρίδια και ιστοσελίδες που προτείνουν μηχανιστικά λύσεις σε μαθηματικά προβλήματα. Αυτή η πρακτική ενισχύει, σε ορισμένες περιπτώσεις, τη σύγχυση και δυσκολεύει την κατανόηση της μαθηματικής επιστήμης.
Το βιβλίο αναλύει τον τρόπο με τον οποίο οι μαθητευόμενοι μπορούν να εκπαιδευτούν ώστε να ενδυναμώσουν την ικανότητά τους να επιχειρηματολογούν και να αξιοποιούν «την κατάλληλη σε κάθε περίπτωση γνώση για να λύνουν προβλήματα στα Μαθηματικά». Ζητούμενο σε αυτή τη διαδικασία είναι η ενίσχυση της ικανότητας των μαθητών να αναπτύσσουν δεξιότητες και μαθηματικούς συλλογισμούς από μόνοι τους. Και όχι να εντοπίζουν απλώς τις τυποποιημένες λύσεις των προβλημάτων. Η ανάπτυξη αυτής της δεξιότητας δεν αφορά μονομερώς τους μαθητές αλλά και τους εκπαιδευτικούς. Ο στόχος είναι σαφώς συνδεδεμένος με την κατάρτιση των εκπαιδευτικών και με τη δημιουργία του κατάλληλου εκπαιδευτικού περιβάλλοντος, που θα μπορέσει να ευνοήσει τη γέννηση των συλλογισμών και των γόνιμων επιχειρημάτων.
Τι είναι πρόβλημα; Οι συγγραφείς του βιβλίου απαντούν στο ερώτημα υπενθυμίζοντας το συμπέρασμα των Newell και Simon, οι οποίοι θεωρούν ότι κάποιος αντιμετωπίζει ένα πρόβλημα όταν θέλει κάτι και δεν γνωρίζει άμεσα τη σειρά των ενεργειών που μπορεί να ακολουθήσει ώστε να επιτύχει τη λύση του προβλήματος. Μαθηματικό πρόβλημα, βέβαια, είναι εκείνο που εμπλέκει στην αναζήτηση της απάντησής του μαθηματικές έννοιες και αρχές.
Με εύληπτο τρόπο, μέσα από ξεκάθαρα παραδείγματα και αναλυτικές γραφικές παραστάσεις, οι συγγραφείς παρουσιάζουν τα διαφορετικά είδη προβλημάτων, τα κλειστά και ανοικτά προβλήματα, τα οργανωμένα βήματα που ακολουθεί κάποιος στην επίλυση ενός προβλήματος. Στη συνέχεια, εξετάζουν τη συμβολή της νοερής επιχειρηματολογίας (επιχειρήματα που μπορούμε να αναπτύξουμε με το νου μας χωρίς να καταφύγουμε σε χαρτί, μολύβι ή σε οποιοδήποτε άλλο μέσο γραφής) στην επίλυση των μαθηματικών προβλημάτων. Τέλος, προσεγγίζουν διεξοδικά ποικίλα θέματα που σχετίζονται με τον έλεγχο, την επαλήθευση, τον πειραματισμό, την αλληλοσυσχέτιση προβλήματος και απόδειξης στη διαδικασία προσέγγισης των προβλημάτων κ.ά.
Το θέμα της επίλυσης ενός προβλήματος αφορά, όπως επισημαίνουν οι συγγραφείς του εγχειρήματος, όλα τα στάδια της μάθησης και ενασχόλησης με τα μαθηματικά. Το βιβλίο τους, χρήσιμο και δημιουργικό εργαλείο για φοιτητές Μαθηματικών και Παιδαγωγικών τμημάτων αλλά και για ανήσυχους εκπαιδευτικούς όλων των βαθμίδων, φωτίζει τις πολλαπλές όψεις ενός εύφορου πεδίου που αξίζει να διερευνήσει όποιος αγαπά τη μαθηματική επιστήμη και εκτιμά την εντολή του μαθηματικού Georgre Pólya προς τους εκπαιδευτικούς και τους μαθητές: «Ο καλύτερος τρόπος για να μάθεις κάτι είναι να το ανακαλύψεις μόνος σου».
Συνέντευξη στον Γιώργο Καρουζάκη
Η Καθηγήτρια στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών Γιάννα Μαμωνά-Downs και ο Επίκουρος Καθηγητής της Διδακτικής των Μαθηματικών του Α.Π.Θ. Ιωάννης Παπαδόπουλος είναι οι συγγραφείς του βιβλίου, “Επίλυση μαθηματικού προβλήματος”. Πρόκειται για μια έκδοση που παρουσιάζει αναλυτικά έναν γόνιμο και δημιουργικό τρόπο προσέγγισης και επίλυσης ποικίλων μαθηματικών προβλημάτων. Η κα Μαμωνά απαντά στις ερωτήσεις μας για το βιβλίο που κυκλοφορεί από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης και απευθύνεται σε φοιτητές, εκπαιδευτικούς και σε όσους αγαπούν τη μαθηματική επιστήμη.
Αρχικά, θα ήθελα να μου πείτε ποια ανάγκη δημιούργησε την έκδοση αυτού του βιβλίου.
Κατά τη διδασκαλία μου διαπιστώνω ότι φοιτητές Μαθηματικών Τμημάτων, ακόμα και στο τέλος των σπουδών τους, δεν είναι σε θέση να επιλύσουν ένα μαθηματικό πρόβλημα ιδιαίτερα όταν δεν απαιτείται μόνο η εφαρμογή ενός γνωστού κανόνα ή μιας απλής αλγοριθμικής προσέγγισης. Επομένως, αυτοί που προσανατολίζονται να διδάξουν Mαθηματικά έχουν εγγενή αδυναμία οι ίδιοι να δουλεύουν στα Μαθηματικά που καλούνται να επικοινωνήσουν στην τάξη τους. Συνεπώς, η έκδοση αυτού του βιβλίου αποσκοπαλεί ακριβώς να βοηθήσει φοιτητές, διδάσκοντες και μέλλοντες διδάσκοντες των Mαθηματικών αφενός να αναπτύξουν την ικανότητά τους να επιλύουν μαθηματικά προβλήματα και αφετέρου να βελτιώσουν τη διδασκαλία τους στο αντικείμενο.
Το βιβλίο επικεντρώνεται σε ένα θεμελιώδες ζήτημα της μαθηματικής επιστήμης, στην επίλυση ενός προβλήματος. Ποια είναι η ιδιαίτερη φύση ενός μαθηματικού προβλήματος;
Το μαθηματικό πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα που στην επίλυσή του εμπλέκονται μαθηματικές έννοιες, αρχές και θεωρίες. Στο βιβλίο υπογραμμίζεται επίσης η σχετικότητα του όρου. Δηλαδή ένα μαθηματικό εγχείρημα αποτελεί ‘πρόβλημα΄ για τον λύτη, όταν αυτός/αυτή δεν είναι σε θέση άμεσα ή εύκολα να διαμορφώσει τη στρατηγική επίλυσής του.
Υπάρχουν συγκεκριμένοι τρόποι επίλυσης ενός μαθηματικού προβλήματος;
Οι τρόποι επίλυσης που βασίζονται στην κατανόηση της δομής του περιβάλλοντος του προβλήματος, (είτε αυτό είναι ένα πραγματιστικό περιβάλλον, είτε καθαρά μαθηματικό), συγκεκριμενοποιούνται στην πορεία από τον λύτη. Είναι σημαντικό να σημειωθεί, τόσο από μαθηματικής όσο και από μαθησιακής πλευράς, η αξία της πολλαπλότητας των προσεγγίσεων επίλυσης αλλά και η αποδοχή της ύπαρξης τυχόν διαφορετικών λύσεων. Προφανώς, υπάρχουν γενικές μέθοδοι που ακολουθούν οι λύτες, αλλά δεν υπάρχουν – και εδώ είναι η ομορφιά της επίλυσης – συγκεκριμένες προσεγγίσεις για όλα τα προβλήματα.
Πόσο διαφέρουν οι τρόποι προσέγγισης ενός προβλήματος στα μαθηματικά από εκείνους που ακολουθούν οι ερευνητές σε άλλες επιστήμες;
Στο ερώτημα αυτό δεν μπορώ να απαντήσω με ακρίβεια καθώς δουλεύω αποκλειστικά στα Μαθηματικά. Παρόλα αυτά, εικάζω (από την εμπειρία μου κυρίως στην μοντελοποίηση) ότι οι διεργασίες του νου και η ακόλουθη αυστηρή και σαφής έκφραση της επιχειρηματολογίας στις άλλες θετικές επιστήμες (που έχουν συνήθως ως απαρχή το πειραματικό μέρος) παραλληλίζονται με αυτές στα Μαθηματικά. Η μοντελοποίηση/μαθηματικοποίηση για την επίλυση προβλημάτων σε άλλα επιστημονικά πεδία, όπως αυτό της οικονομίας, ίσως είναι περισσότερο αλγοριθμικού χαρακτήρα.
Ποια είναι η συμβολή της μεθοδολογίας που ακολουθεί κάποιος στην επίλυση ενός προβλήματος στην εξέλιξη της επιστήμης;
Η εξέλιξη των διαφόρων επιστημονικών αντικειμένων πραγματώνεται μέσα από την επίλυση των προβλημάτων που τίθενται στο περιβάλλον τους. Επομένως, η εύρεση λύσης (ή το συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει λύση) είναι το test για την προσέγγιση/μέθοδο επίλυσης που επελέγει. Με την ευκαιρία της ερώτησης, σε ειδικό κεφάλαιο του βιβλίου (αυτό του ‘Ελέγχου’) αναφέρομαι στις μεταγνωστικές νοητικές διεργασίες βάσει των οποίων ο λύτης ανασκευάζει βαθμιαία τις προσεγγίσεις επίλυσης.
Στο βιβλίο σας σημειώνετε, επίσης, ότι θέλετε να ενθαρρύνετε τους μαθητές και τους φοιτητές να «κάνουν Μαθηματικά» παρά να μελετούν. Ποια είναι η διαφορά και η σημασία αυτής της προσέγγισης;
Η πραγματικότητα που επικρατεί γενικά στη μαθηματική εκπαίδευση είναι τέτοια που δε βοηθά τους νέους να βελτιώνουν με τον καιρό την ικανότητά τους να αντιλαμβάνονται την ουσία (αυστηρά θα λέγαμε τη δομή) των μαθηματικών εννοιών, θεωρητικών αναπτυγμάτων και προβλημάτων (είτε αυτών από τα οποία εκπορεύονται τα δύο πρώτα, είτε αυτών που τους δίνονται προς λύση). Επομένως, παρατηρούμε μια αδυναμία στους νέους να αναπτύσσουν μαθηματικά επιχειρήματα, κάτι που συνιστά το ‘κάνω Μαθηματικά’. Η αποτύπωση της εξέλιξης των μαθηματικών συλλογισμών στην αντιμετώπιση των ‘πρότυπων’ προβλημάτων που αντιμετωπίζονται στο βιβλίο (‘πρότυπων’ για την ειδική θεματική του κάθε κεφαλαίου), σκοπεύει ακριβώς να συνεισφέρει σ’ αυτήν την κατεύθυνση.
Το βιβλίο αυτό δεν είναι μια συλλογή προβλημάτων με τις αντίστοιχες λύσεις τους, (αφού τέτοιες και καλές μπορούμε να βρούμε εύκολα και στο Διαδίκτυο), αλλά κυρίως με όχημα κατάλληλα μαθηματικά προβλήματα φωτίζει την ανάπτυξη της νοερής επιχειρηματολογίας και την μετέπειτα αυστηρή μαθηματική διαμόρφωσή της. Τα προβλήματα αυτά αποτελούν όχημα για μια αναλυτική αντιμετώπιση των διαφόρων πτυχών της έρευνας της Διδακτικής Μαθηματικών στην Επίλυση Προβλήματος.
Με ποιον τρόπο μπορεί να βοηθήσει τη διδασκαλία και την κατανόηση των Μαθηματικών η μέθοδος επίλυσης ενός προβλήματος;
Όπως διαφαίνεται και από τα παραπάνω, η επίλυση προβλημάτων συνιστά την πρωταρχική διάσταση της μαθηματικής δουλειάς. Επομένως, οι πολύπλευρες προσεγγίσεις επίλυσής τους στο περιβάλλον της εκπαίδευσης συμβάλλουν ακριβώς στην κατανόηση της φύσης του αντικειμένου αυτού καθαυτού και στην άσκηση της δυνατότητας διαμόρφωσης λογικών συνεπαγωγών από τους μαθητευόμενους, πράγμα που αποτελεί και τον απώτερο σκοπό της μαθηματικής Παιδείας.
© Copyright 2001-2024 Θαλής + Φίλοι.
designed & developed by ELEGRAD
