Thales + Friends

Το παράδοξο στην καρδιά των μαθηματικών

Αναρτήθηκε σε 20 Μαΐου, 2022 κατηγορία: Ειδήσεις | Tags: , , , ,

Συντάκτης: Γιώργος Καρουζάκης

Από την αρχαία Ελλάδα, η ιδέα ότι κάθε μαθηματική πρόταση μπορεί να αποδειχθεί είτε αληθής είτε ψευδής, και ότι κάθε φαινομενική αντίφαση μπορεί τελικά να εξαλειφθεί ήταν ελκυστική σε πολλούς επιστήμονες, κυρίως μαθηματικούς.

Ωστόσο, αυτή η μακροχρόνια πεποίθηση ανατράπηκε στις αρχές του 20ού αιώνα, όταν ο επιστήμονας της Λογικής και φιλόσοφος Κουρτ Γκαίντελ (1906-1978) μετέτρεψε ένα γραπτό παράδοξο – “Αυτή η δήλωση δεν μπορεί να αποδειχθεί” – σε εξίσωση, καταρρίπτοντας την αντίληψη ότι τα μαθηματικά μπορούν να βασίζονται σε δομές απόλυτης βεβαιότητας.

Ένα βίντεο κινουμένων σχεδίων από τη σειρά TED -Ed, που επιμελήθηκε ο Βρετανός μαθηματικός Marcus du Sautoy, εξηγεί με απλά λόγια πώς ο Γκαίντελ κατόρθωσε να αλλάξει ριζικά τα μαθηματικά με τη βοήθεια των λέξεων και πώς τα περίφημα “Θεωρήματα της Μη πληρότητας” που παρουσίασε επηρέασαν τα θεμέλια των μαθηματικών αλλά και τον ψηφιακό κόσμο.

Σκεφτείτε την ακόλουθη φράση: “Αυτή η πρόταση είναι ψευδής.” Είναι αλήθεια; Αν ναι, τότε η πρόταση είναι ψευδής. Αλλά αν είναι ψευδής, τότε η πρόταση είναι αληθής. Αυτός ο νοητικός γρίφος δημιουργεί ένα δισεπίλυτο παράδοξο – αν δεν είναι αληθής και δεν είναι ψευδής- τότε τι είναι; Αυτό το ερώτημα οδήγησε τον Γκαίντελ στη σημαντική ανακάλυψή του.

Η αναζήτηση του Γκαίντελ σχετίζεται με τα όρια των μαθηματικών αποδείξεων. Μιαν απόδειξη είναι ένα λογικό επιχείρημα που αποδεικνύει πέρα από κάθε αμφιβολία γιατί μία μαθηματική πρόταση είναι αληθής. Τα δομικά στοιχεία αυτών των επιχειρημάτων ονομάζονται αξιώματα. Κάθε σύστημα που βασίζεται στα μαθηματικά, από την πιο σύνθετη απόδειξη έως την πιο απλή, στηρίζεται σε αξιώματα. Και αν μια πρόταση που αναφέρεται σε αριθμούς, για παράδειγμα, είναι αληθής, οι μαθηματικοί θα πρέπει να είναι σε θέση να την επιβεβαιώσουν με μιαν αξιωματική απόδειξη.

Ο Γκαίντελ συντάραξε τον κόσμο των μαθηματικών παρουσιάζοντας μερικά λογικά παράδοξα που κλόνισαν τη βεβαιότητα ότι δεν υπάρχουν αντιφάσεις στα μαθηματικά. Από τα παραδείγματα που εξέτασε, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι οι μαθηματικές προτάσεις εξακολουθούν να είναι είτε αληθείς είτε ψευδείς, αλλά και ότι οι αληθείς προτάσεις μπορούν είτε να αποδειχθούν είτε να μην αποδειχθούν εντός ενός δεδομένου συνόλου αξιωμάτων.

Επιπλέον, ο Γκαίντελ υποστήριξε ότι αυτές οι αναπόδεικτες αληθείς προτάσεις υπάρχουν σε κάθε αξιωματικό σύστημα. Αυτό καθιστά αδύνατη τη δημιουργία ενός απόλυτα ολοκληρωμένου συστήματος στην εφαρμογή των μαθηματικών, επειδή πάντα θα υπάρχουν αληθείς προτάσεις που δεν θα μπορούν να αποδειχθούν.

Δείτε το βίντεο

Πηγή: aeon.co

© Copyright 2001-2022 Θαλής + Φίλοι.

designed & developed by elegrad